计量方法与误差理论

误差部分

经典误差理论

误差的基本概念

• 真值：在一定条件下被测量的真实数值（通常用字母 A 表示真值），测量的目的就是为了获得真值。
• 绝对误差：由测量所得到的被测量值与其真值之差。
• 相对误差：由绝对误差作为分母。

• 分贝误差：

• 分贝：

• 误差分类：
  • 随机误差：统计特性、计算方法、评价标准、不可消除
• 系统误差：
  • 消除或者减弱的方法、各类判据
• 粗大误差：
  • 测量误差

随机误差的基本性质

• 随机误差的大小和方向都不固定，也无法精确测量或校正，但它的规律性是在大量观测数据中表现出来的统计规律。在多次测量的过程中，产生的随机误差具有以下规律:
  • 对称性: 绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相同。
  • 单峰性: 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。
  • 有界性: 绝对值很大的误差出现的概率接近于零，即随机误差的绝对值不会超过一定界限。
  • 抵偿性: 当测量次数 n→∞ 时，全部误差的代数和趋于零。

随机误差的分布特征

• 随机误差的分布特征有：
  • 正态分布
  • t 分布
  • 非均匀分布等

随机误差的数字特征

数学期望

• 算术平均值为数学期望的估计值：

标准差

• 离散数据标准差的估计值：

• 由于真值无法得知，因此测量数据的误差不能准确给出，因此不能够按照上述式子求得标准差，必须结合测量数据对标准差进行合理估计，通常采用贝塞尔公式进行估计。
• 贝塞尔公式：

• 贝赛尔公式估算条件：测量次数 n 比较大。

标准差的其他估算方法

• 别捷尔斯法
• 极差法

• 最大误差法：

• 四种计算方法的优缺点：

多次测量结果的精度指标

• 多次测量的算术平均值的标准差：

• 算术平均值的精度指标（常用的有 4 个）：

• 总结：

非等精度测量

权的概念

• “权”可以理解为各组测量结果相对的可信赖程度，测量结果越可靠，其“权”越大，即可靠性越大的测量结果在最后结果中所占的比重越大。

方差已知

• 权与方差成反比！权表示相对可靠程度，是一个无量纲的数，允许给各组的权数同时增大或者减小若干倍，而比例关系不变。

多次重复测量的权

• 以多组重复测量为例，测量次数决定权值，即

加权平均表达式

• 知道权值便可以求加权平均表达式：

加权平均的精度参数

• 误差合成原理：

• 总结：

例题

• 已知方差：

• 方差未知，知道测量次数：